물리학과에서 가장 절실한 학문이 무엇일까요?
바로 수학입니다.
그런데 미분 적분같이 고등학교때 배운 수학으로는 절대 안 풀리는 문제들이 나오기 시작하는데
그것이 바로 미분방정식 입니다.
그래서 미분방정식 강의를 제일 먼저 다루기로 마음먹었습니다.
교재는 Boas 수리물리학을 사용하겠습니다.
아프켄은 쓸데없이 어렵고
보아스는 내용도 괜찮고 솔루션도 있어서 혼자 공부하시기에는 딱입니다.
Boas 수리물리 3판 (한글) 8장
-상미분방정식-
우리가 시작할것은 상미분방정식 입니다.
상미분방정식이 일반적인 미분방정식이고
또 다른 미분방정식에는 편미분방정식이 있습니다.
말 그대로 편미분이 들어있으면 편미분방정식이고
일반적인 미분방정식은 상미분방정식입니다.
미분방정식이 왜 물리에서 중요한가를 알려드리기 위해 뉴턴 제2법칙을 살펴보도록 하겠습니다.
(수식은 될수있는한 손으로 필기하는 노테이션으로 표시하겠습니다.)
이 공식은 너무 유명하죠
이 때 가속도는 속도의 변화량이고
속도는 위치벡터의 변화량입니다.
즉, 가속도는 다른 표현으로
이렇게 쓸 수 있습니다.
따라서 운동방정식은
이렇게 힘과 위치벡터의 미분방정식으로 표현 할 수 있습니다.
식 보면 미분 연산자가있죠?
그래서 운동방정식도 결국 미분방정식입니다.
물리에서는 "운동 결과를 예측"하거나 "관찰 대상의 물리적 상태를 추리"하기 위해서 미분방정식을 풉니다.
예를 들어, 초기에 어떤 물체에 어떤 힘들이 작용하고 있는지를 알고 이 물체가 시간이 지남에 따라 어떤 운동을 할 지 예상하기 위해서 미분방정식을 풀 경우도 있고, 어떤 물체가 운동하고 있는 모양을 관측해서 초기상태를 추리할 경우에도 미분방정식이 필요합니다.
여기서 잠깐! ㅋㅋ
미분연산자에 붙어있는 d 는 무슨 뜻일까요?
알아요 심하게 별걸 다 설명하는거…
하지만 누군가는 저한테 고마울걸요? ㅋㅋㅋ
중딩때 기울기 배웠죠?
이걸 간단하게 요렇게 표기했죠?
이렇게...
이 때 Δ이 문자는 그리스문자로 대문자 델타입니다.
영어로 delta라고 씁니다 ^^
미분이 순간변화율을 의미하기 때문에 델타의 앞글자 d를 따 와서 쓰는 것입니다.
델타는 중딩수준으로 눈에 띄는… 좀 스케일이 큰 변화량이고
미분연산자 d는 졸라 미친듯이 소심하게 찔끔 변한 변화량입니다.
그래서 우리말로 미소변위라고 합니다.…..ㅡ.ㅡ ㅋㅋㅋㅋㅋ
미분방정식이 쓰이는 물리 문제의 또 다른 예로 열과 온도에 관한 방정식이 있습니다.
각 문자들이 의미하는 바는 다음과 같습니다.
수식 자체를 말로 풀어보면
이 부분은 시간에 따른 열 에너지의 변화량 입니다.
이것과 같은 물리량인데 다른 요소들로 표현 해 보면
열의 전도율과 온도가 변화한 양을 곱하면 되는데 온도변화를 계산하려면 아주 미세한 부분의 온도변화를 측정해서 단면적과 곱해줘야 총 온도변화량이 나오니까 결과적으로 아래와 같이 쓸 수 있습니다.
그런데 왜 곱하는지 잘 모르겠다고요?
더 자세히 설명 들어갑니다~~~
어떤 호스를 통해 "일정한 속도로" 100초동안 빠져나간다고 생각해봐요~~
이걸 구하려면
이놈들을 다 곱해주면 1초동안 빠져나간 물의 양을 알 수 있겠죠?
이렇게 물리에서 마주하게 되는 문제들을 풀기 위해서는 미분방정식을 풀어야만 하기 때문에 매우 중요합니다.
그래서 미분방정식이 이 책에서는 8장에 나오지만 저는 제일 먼저 다루고 있는 것이고요 ^^
그럼 미분방정식이 중요한 것은 알았는데 우리가 먼저 배울 것은
"선형 미분방정식"입니다.
선형미분방정식은 도대체 또 무엇일까요?
책을 보면 세가지 예제가 나와 있습니다.
음…… 뭐래는거야? ㅜ.ㅜ
이런거 저런거 헷갈리는거 죄다 무시하세요
제가 명확히 알려드리겠습니다.
지금 말고요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
다음 편 부터 우리는 선형이를 찾아 여행을 떠나게 될 겁니다.
기대하세요~^^
작성자 개인 블로그 : http://universics.tistory.com